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作者不详,无门无派,这本古书被称为数学中的“独孤九剑”

作者:成语词句网日期:

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如果问金庸小说中哪套剑法最厉害,很多武侠迷都会想到“独孤九剑”。剑魔独孤求败,终其一生欲求一败而不得。

其实,在数学江湖中也有一套“独孤九剑”,那便是被称为“中国数学圣经”的《九章算术》。


《九章算术》作者不详,师承不明,无门无派,身世神秘,仿佛天外飞仙般突然降临江湖,一出现便惊艳众生,引历代名家尽折腰,甘愿殚精竭虑为之作注,九章之学,遂成大宗。



作者不详,无门无派,这本古书被称为数学中的“独孤九剑”


刘徽(225~295),山东邹平县人,魏晋时伟大数学家,中国古典数学理论的奠基人之一,著有《九章算术注》和《海岛算经》。

正如“独孤九剑”有九式一样,《九章算术》也有九章,每章研习一术,分别是方田术、粟米术、衰分术、少广术、商功术、均输术、盈不足术、方程术、勾股术,合称“九术”,即九种算法,虽然怎么听都像是武功秘诀。


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不过,你别看这些算法听上去玄乎其玄,但中国人向来务实,因此《九章算术》所研习的东西,都与老百姓的日常生活息息相关。


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刘徽《九章算术注》


正所谓剑有剑招,算有算题,既然“独孤九剑”得从一招一招练起,那《九章算术》也得从一题一题做起。

整部《九章算术》说到底就是一本算题集,一共列举了二百四十六道算题,每题皆有问有答有解。这又好比二人对剑,一人出招,一人接招,至于如何见招拆招,则全赖“九术”之妙用。

九章算术篇幅巨大,其中不乏晦涩难懂的术语,咱们不妨就从中抽取比较有趣的几个章节来讲一讲,也算是抛砖引玉。

例一

箕田求积

"今有箕田,舌广二十步,踵广五步,正从三十步,问为田几何?"

说白了这其实就是个面积计算问题,由于常跟“田”打交道,这“田”也就自然成为了各类图形的代称,你比方说:“方田”指矩形,“圭田”指等腰三角形,“邪田”指直角梯形,“箕田”指等腰梯形,“圆田”指圆形等等。

而且,不同的“田”也有不同的面积计算公式——


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箕田术示意图


本题所求为箕田面积,也就是等腰梯形的面积,翻译过来即:

等腰梯形面积=1/2×(上底+下底)×高

这个公式是不是很亲切?遥想幼学当年,稚气犹未了,强记硬背,百遍后,倒也滚瓜烂熟。在此直接套用即可:

箕田面积=1/2×(20+5)×30=375步

不知道古代的小学生在计算梯形面积的时候,会不会也像现在的孩子一样咬牙切齿?

例二

阳马求积


今有阳马,广五尺,袤七尺,高八尺。问积几何?

不要误会,这阳马说的可不是马,而一种特殊的锥体,本题所要求的就是这种锥体的体积。在动手计算之前,先得介绍一下立体图形家族的诸位成员。

咱们最熟悉的当然是长方体,在家族中排行最大,辈份最高,许多锥体和柱体都是由它演变而来的。

将长方体沿对角面斜分为二,得到两个一模一样的三角棱锥,称为“堑堵”,其体积是长方体的一半。


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堑堵


再沿堑堵某一顶点与相对的棱剖开,得四角棱锥和三角棱锥各一个。四角棱锥以矩形为底,另有一棱与底面垂直,称为“阳马”;余下的三角棱锥是由四个直角三角形组成的四面体,称为“鳖臑”(biē nào)。


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合两鳖臑而成一阳马,合三阳马而成一立方。故本题解法是:“广袤相乘,以高乘之,三而一。”

翻译一下也就是以阳马矩形底面的长乘以宽,再乘以阳马的高,得出未剖分前长方体的体积,除以三即为阳马的体积。

故答曰:“九十三尺少半尺。”

例三

凫雁相逢


今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海。今凫雁俱起,问何日相逢?

凫即野鸭,雁即大雁,野鸭从南海飞到北海需要七天,大雁从北海飞到南海需要九天。问:野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发,问多少天可以相遇?


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凫雁相逢


题虽然简单,却包含了均输术中的时日、路程、速度等几乎所有的元素,反映了中国古代在处理与比例分配相关的分数运算时的基本思维——“齐同”,化异分母为同分母叫“同其母”,要保持分数值不变,还必须“齐其子”,母同子齐以后才可以进行加减运算。

所以,“凫雁相逢”的解法是:“并日数为法,日数相乘为实,实如法得一日。”

也就是说,以各自需要的天数之和为除数,以各自需要的天数之积为被除数,这样就得到日数。答曰:“三日十六分日之十五。”

例四

人共买物

今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四。问人数、物价各几何?

题目的意思是:几个人一起买一件东西,每人出钱八块,则多三块,是为盈余;每人出钱七块,则少四块,是为不足。问人数多少?物价多少?

《九章算术》所给出的盈不足术公式相当啰嗦,反而刘徽的注更为简单——

首先计算人数。每人两次出钱,相差为8-7=1,这是所谓“一人之差”。而“盈不足为众人之差”,也就是说由于每人两次出钱都差一点,导致了最后有3个“众人之差”,大家相差的就是盈余的3块钱和不足的4块钱之和,“众人之差”是7块钱。

“以一人之差约众人之差,故得人数也”,以7除以1,即得知人数是7人。


作者不详,无门无派,这本古书被称为数学中的“独孤九剑”



再来算物价。每人出8块,买1物,多3块;若买4物,则需出8×4=32块,多3×4=12块。每人出7块,买1物,少4块;若买3物,则需出7×3=21块,少4×3=12块。两次盈亏等同,互相抵消。两次出钱之和=8×4+7×3=53块,共计买得4+3=7物。已算得人数是7人,可知物价是53块钱。

故答曰:“七人,物价五十三。”

例五

引葭赴岸

今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。引葭赴岸,适与岸齐。问水深、葭长各几何?

这是一道很有趣的题,说的是有一个边长为一丈的方形水池,正中央长着一根芦苇,露出水面一尺。若将芦苇稍头垂直拉到岸边,顶端恰好与岸齐平。问水有多深?芦苇有多长?


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勾股定理


要解这道题,先需认识勾股定理。在《九章算术》中则称为“勾股术”,其诀曰:“勾股各自乘,并而开方除之,即弦。”换言之,即是说直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。设勾为a,股为b,弦为c,则a²+b²=c²。

据《周髀算经》记载,西周初年的数学家商高曾向周公讲过“勾三股四弦五”,即3²+4²=5²,这是勾股定理最著名的特例。

掌握了勾股定理,要解本题就易如反掌了。《九章算术》给出的解法是:“半池方自乘,以出水一尺自乘,减之。余,倍出水除之,即得水深。加出水数,得葭长。”


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设池边长一半为a,池深为b,葭长为c

按题意,已知a=5尺,c-b=1尺

用勾股定理 a²+b²=c²,可以得出

水深b=[a²-(c-b)²]/2(c-b)=(5²-1²)/2=12尺

葭长c=b+1=13尺

故答曰:“水深一丈二尺。葭长一丈三尺。”

“引葭赴岸”的故事宋代时还流传到了印度,被印度数学家拜斯迦罗本土化为“风吹荷花”问题:

湖静浪平六月天,荷花半尺出水面。

忽来南风吹倒莲,荷花恰在水中淹。

湖面之上不复见,入秋渔夫始发现。

落花去根三尺整,试问水深尺若干?


此题显然与“引葭赴岸”如出一辙,诗中有画,画中有题,妙趣横生。即使不做题,单纯欣赏这诗画中的意境,也会让人很开心。

至此,“九术”算是亮过了身手,但若要修炼得炉火纯青,只这般走马观花,显然是远远不够的,先得把二百四十六道题全做一遍才行!

“独孤九剑”之所以厉害,在于能克敌致胜,倘若只图花哨卖弄,遇敌时一触即溃,又怎配得上“剑魔”威名?《九章算术》亦同此理,能真真切切解决现实问题的数学,才是活泼泼有生命力的数学。

《九章算术》所归纳的种种算法,如今看来虽已不再高深,却依然被广泛应用于各个领域,非但有功于当时,亦且有裨于后世,“圣经”之誉,诚不负哉!

参考文献:

[1]闫文宇,朱宏斌.《九章算术》所反映的秦汉农业生产与社会经济[J].秦始皇帝陵博物院,2017(00):205-216.

[2]桂淑伊.管窥《九章算术》,传承数学文化[J].数学学习与研究,2017(14):124+126.

[3]王秀玉,霍艳晶.从《九章算术》中分析我国古代数学的文化风格[J].兰台世界,2014(17):151-152.


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